🖥️ IT運用：サイト信頼性 ライブモデル

根拠:数字の背後にあるモデル

シミュレーターが使うすべての関係式を、出典とともに示します。前提と記された定数は例示的な校正値です。

リクエストは1日の曲線に外乱が加わったもので、毎分の件数は少しのバースト性を持つランダム（ポアソン、正規近似）です。

λ(t) = base × (1 + 0.25·sin(2π(t + clock − 6 h)/24 h)) × surge(t), clock = time of day at the start (peak at 12:00); count/min ≈ N(60λ, √(60λ)) × (1 + N(0, 0.02))[6]前提：ワーカー数、サービス時間、データベース容量、キャッシュサイズ、補充速度、価格、不良ビルドのエラー率は、中規模のWebサービスを想定した例示的な値です。

アーランC：M/M/Nシステムで、リクエストが空きワーカーを待たなければならない確率。

N = instances × 16 workers, a = λ·S; C(a, N) = B / (1 − (a/N)(1 − B)), B = Erlang B[3][6]

待ち時間の裾：t より長く待つ確率は指数関数的に下がります。2秒のタイムアウトでまだ待っているリクエストは失敗します。容量を超えた分は失敗します。

P(W > t) = C·e^(−(N/S − λ)·t); timeouts = P(W > 2 s); a ≥ N ⇒ failed share = 1 − N/a[3]

サービス時間と待ち時間の分位数から求めるp99レイテンシ。

p99 ≈ S·ln 100 + ln(C/0.01)/(N/S − λ) (service + waiting quantile, an approximation)[3][6]近似：サービス時間と待ち時間の分位数を足しても、その和の正確なp99にはなりません（少し高くも低くもなりえます）。リクエストはミリ秒で処理されるため、キューは各分の間は定常とみなしています。

リトルの法則：使用中のワーカー数 = 到着率 × サービス時間。

busy workers L = λ·S ⇒ utilization = λ·S / N[4]

TTLキャッシュ：ランダムなリクエストでは、ミスのたびにTTL期間が始まり、その間リクエストはヒットします。

hit = warm × rT/(1 + rT), r = λ / 20,000 objects; mean age of a cached answer ≈ T/2[5]

キャッシュミスはデータベースに負荷をかけます。その待ち行列遅延は、データベースに触れるすべてのリクエストを遅くし、アプリのワーカーも埋めます。

DB load = λ·q·(1 − hit); query time = 5 ms/(1 − ρ_db) (≤ 250 ms); S = S_app + (1 − hit)·q·query time[6]前提：ワーカー数、サービス時間、データベース容量、キャッシュサイズ、補充速度、価格、不良ビルドのエラー率は、中規模のWebサービスを想定した例示的な値です。

SLOとエラーバジェット：バーンレートは、許容より何倍の速さでバジェットを消費しているかを示します。

budget = 1 − SLO = 0.1 %; burn = error rate / 0.1 %; Δbudget per min = burn / 43,200; burn (1 h) = mean error rate over the last 60 min / 0.1 % (window pre-filled with the opening minute)[1][2]

起動遅延とクールダウンを持つ、ターゲット追跡型のオートスケーラー。

desired = ⌈serving × utilization / target⌉ (utilization saturates at 100 %); new instances serve after the boot delay[6]前提：ワーカー数、サービス時間、データベース容量、キャッシュサイズ、補充速度、価格、不良ビルドのエラー率は、中規模のWebサービスを想定した例示的な値です。

モデルが使うその他の運転定数。

16 workers/instance · app time 50 ms (+20 ms and +1 query with the feature on) · 2 queries/request · DB 4,000 queries/s · 20,000 hot objects · cache refill τ = 30 min (slower while the DB is saturated) · warm-up job +12 %/min for 6 min, +600 queries/s · timeout 2 s · 30 % low-priority traffic · bad build +5 % errors, ×1.25 CPU · rollback 5 min · $0.40 per instance-hour · scale-in by ≤ 20 % of the fleet after 10 quiet minutes · up to 40 instances前提：ワーカー数、サービス時間、データベース容量、キャッシュサイズ、補充速度、価格、不良ビルドのエラー率は、中規模のWebサービスを想定した例示的な値です。

乱数:シード付きのmulberry32ジェネレーター。使用する分布は一様分布、指数分布(逆CDF法)、正規分布(Box–Muller法)、ポアソン分布(Knuth法)。シードは表示され、共有できます。

出典

1. Site Reliability Engineering — Ch. 3 Embracing Risk (error budgets), Ch. 4 Service Level Objectives — Beyer, Jones, Petoff, Murphy (eds.), O'Reilly, 2016
2. The Site Reliability Workbook — Ch. 5 Alerting on SLOs (burn rate; 14.4× over 1 h = 2 % of a 30-day budget) — Beyer, Murphy, Rensin, Kawahara, Thorne (eds.), O'Reilly, 2018
3. Teletraffic Engineering Handbook — Erlang C formula; waiting-time distribution for M/M/n, FCFS — ITU-D Study Group 2 Question 16/2 (V. B. Iversen), 2005
4. J. D. C. Little — A Proof for the Queuing Formula: L = λW — Operations Research 9(3):383–387, 1961
5. J. Jung, A. W. Berger, H. Balakrishnan — Modeling TTL-based Internet Caches — IEEE INFOCOM 2003, 2003
6. M. Harchol-Balter — Performance Modeling and Design of Computer Systems: Queueing Theory in Action (M/M/k, server farms, capacity provisioning) — Cambridge University Press, 2013