💠 半導体ファブ ライブモデル

根拠:数字の背後にあるモデル

シミュレーターが使うすべての関係式を、出典とともに示します。前提と記された定数は例示的な校正値です。

装置の状態はSEMI E10に従います:生産、スタンバイ、エンジニアリング、計画停止、計画外停止。

Availability = up tools / 8 · Utilization = productive tool-hours / total[1]

装置は指数分布の故障までの時間に従ってランダムに故障し、修理は空いている技術者を待ちます。

P(fail in Δt) = 1 − e^(−Δt/MTBF), MTBF = 250 h; repair ~ Exp(mean 6 h) once a technician is free[17][1]前提:大きさの目安(MTBF、発生率、k、τ)は例示的な校正値であり、実際のファブのデータではありません。

リトルの法則は、仕掛品、スループット、サイクルタイムを結びつけます。

CT = WIP / TH = T0 + queue / TH, T0 = 1 h[6][5]

安定したラインではスループットは投入率に等しいので、投入されなかったウェハーは決して出てこないウェハーです。工程間で長く待ちすぎたウェハーはキュータイム制限を破ります。

TH = release rate while u < 1 ⇒ wafers out ≈ Σ starts; queue wait = CT − T0 = queue / TH ≤ queue-time window (3.5 h CT in semi-tool-crash)[5][16]仮定:サイクルタイムの3.5時間の上限は、キュータイム制限の代わりです。実際の制限はプロセスエンジニアリングが工程ごとに定め、それを破ったウェハーは通常廃棄されます。

キングマンの近似:待ち時間はu/(1−u)のように増え、稼働率が100 %に近づくと爆発的に増えます。

CTq ≈ ((ca² + ce²)/2) · (u/(1−u)) · te[5]直感のために示しています。シミュレーターの待ち行列は、この式ではなく、ランダムな到着とランダムな能力から生まれます。

粒径DのISO 14644-1クラス限度。0.1 µmでは、クラスは濃度の対数です。

Cn = 10^N · (0.1/D)^2.08 ⇒ N = log10(C≥0.1µm)[2]

完全混合の部屋:濃度=発生量÷(換気回数×容積×フィルター効率)。

C = G / (ACH · V · η)[13][11]前提:大きさの目安(MTBF、発生率、k、τ)は例示的な校正値であり、実際のファブのデータではありません。

ファンの相似則:電力はファン速度の3乗に比例して上がります。

P_fan = P_max · (speed)³[10]

負の二項分布による歩留まり:欠陥は偏って分布するため、歩留まりはポアソンモデルの予測より緩やかに低下します。

Y = (1 + A·D/α)^(−α), α = 2 (α→∞: Y = e^(−A·D))[3][4][15][14]

歩留まり学習:エンジニアリング時間を投じるほど、欠陥密度は成熟したレベルに向かって減衰します。

D(t+Δt) = D∞ + (D − D∞)·e^(−Δt/τ), τ = 120 h · (0.10 / engineering share)[15][18]前提:τは、報告されている業界の学習率(月4〜6.5 %、Leachman)に比べて時間を約100倍圧縮しており、14日間のシナリオで効果が見えるようにしています。

ウェハーに落ちた粒子は、空気中の濃度に比例して致命的な欠陥を増やします。

D_total = D_learn + k · C, k = 4·10⁻⁶ cm⁻² per particle/m³前提:例示的な定数です。実際のファブは、自社の検査データから致命欠陥率を校正します。

パラメトリック歩留まり:通常のプロセスのうち仕様限界内に入る割合。Cpkがその余裕を測ります。

Y_param = Φ((USL−μ)/σ) − Φ((LSL−μ)/σ), Cpk = min(USL−μ, μ−LSL)/(3σ)[7][8][19]

SPC:n個のサンプルの平均、±3σ/√nの管理限界とゾーンルール。

x̄ ~ N(μ, σ/√n), control limits ±3σ/√n; zone rules (2 of 3 beyond 2σ, 4 of 5 beyond 1σ, 8 on one side)[8][7][12]

モデルが使うその他の運転定数。

8 scanners × 6 wafer-starts/h · metrology −0.5 % capacity per sampled wafer/h · rollback: 2 h at half capacity + 4 wafer-equivalents reworked · drift 0.25 nm/h · crash repair 18 technician-hours · leak crew +2 people for 3 h · tools 150 kW busy / 60 kW idle, fans 150 kW at 100 %前提:大きさの目安(MTBF、発生率、k、τ)は例示的な校正値であり、実際のファブのデータではありません。

面積Aのダイに対する、300 mmウェハー1枚あたりの総ダイ数。

DPW = π·d²/(4A) − π·d/√(2A), d = 300 mm[9]

乱数:シード付きのmulberry32ジェネレーター。使用する分布は一様分布、指数分布(逆CDF法)、正規分布(Box–Muller法)、ポアソン分布(Knuth法)。シードは表示され、共有できます。

出典

1. SEMI E10 — Specification for Definition and Measurement of Equipment Reliability, Availability, and Maintainability (RAM) and Utilization — SEMI
2. ISO 14644-1:2015 Cleanrooms and associated controlled environments — Part 1: Classification of air cleanliness by particle concentration — ISO, 2015
3. C. H. Stapper, F. M. Armstrong, K. Saji — Integrated circuit yield statistics — Proceedings of the IEEE 71(4), 1983
4. J. A. Cunningham — The use and evaluation of yield models in integrated circuit manufacturing — IEEE Trans. Semiconductor Manufacturing 3(2), 1990
5. W. J. Hopp, M. L. Spearman — Factory Physics (3rd ed.), ch. 7–8: Little’s law, Kingman (VUT) equation — Waveland Press, 2008
6. J. D. C. Little — A Proof for the Queuing Formula L = λW — Operations Research 9(3), 1961
7. D. C. Montgomery — Introduction to Statistical Quality Control (x̄ charts, process capability Cpk) — Wiley, 2019
8. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 6.3 Univariate and Multivariate Control Charts; 6.1.6 Process capability — NIST
9. Dies-per-wafer estimate DPW = πd²/(4S) − πd/√(2S) (de Vries, “Investigation of gross die per wafer formulas”, IEEE TSM 18(1)) — IEEE, 2005
10. Fan affinity laws: flow ∝ speed, pressure ∝ speed², power ∝ speed³ — U.S. DOE — Improving Fan System Performance: A Sourcebook for Industry
11. EN 1822-1:2019 High efficiency air filters (EPA, HEPA and ULPA) — classification (U15 ≥ 99.9995 % at MPPS) — CEN, 2019
12. Western Electric Statistical Quality Control Handbook (1956) — zone rules for control charts — Western Electric / NIST e-Handbook 6.3.2
13. W. Whyte — Cleanroom Technology: Fundamentals of Design, Testing and Operation (2nd ed.), ch. on dispersion of particles from people; well-mixed room dilution equation — Wiley, 2010
14. Yu. I. Bogdanov, N. A. Bogdanova, V. L. Dshkhunyan — Statistical Yield Modeling for IC Manufacture: Hierarchical Fault Distributions (§2 Compound Poisson distribution, after Eq. (17), p. 4 of the arXiv PDF — large-area clustering negative binomial model: the cluster parameter’s “typical values approximately range from 0.3 to 7”) — arXiv physics/0303039, 2003
15. R. C. Leachman — Yield Modeling and Analysis (Poisson, Murphy, Seeds, negative-binomial models; §8: SMLY survey with C. N. Berglund for International SEMATECH, 2002–03 — yield loss fitted as YL(t) = YL(0)·e^(−λt), Table 2 averages 4.4 / 4.0 / 6.5 %/month at 350 / 250 / 180 nm) — UC Berkeley, IEOR 130 course notes (unpublished), 2014
16. A. Klemmt, L. Mönch — Scheduling jobs with time constraints between consecutive process steps in semiconductor manufacturing (time windows set by process engineering against native oxidation and contamination; jobs that violate them are scrapped) — Proceedings of the 2012 Winter Simulation Conference, 2012
17. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 8.1.6.1 Exponential distribution (constant failure rate) — NIST
18. C. Weber — Yield learning and the sources of profitability in semiconductor manufacturing and process development — IEEE Trans. Semiconductor Manufacturing 17(4), 2004
19. M. Abramowitz, I. Stegun — Handbook of Mathematical Functions, 26.2.17 — NBS, 1964